Primero Ethnogeometría para seguir con Etnomatemática
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Autor: Oscar Pacheco Ríos
Título del trabajo: ETHNOGEOMETRIA
Tipo de trabajo: Taller
Palabras clave de la temática: Teoría Etnomatemática
"Primero Ethnogeometría para seguir con Etnomatemática"
INTRODUCCION
En esta última década la Etnomatemática se ha presentado, como una nueva corriente del saber matemático, intentando rescatar los valores que el pueblo y su cultura tienen. Esta corriente es vista por algunos con cierto escepticismo y por otros como la nueva alternativa para el aprendizaje de la Matemática. Después de leer a los más prominentes impulsores hemos llegado al convencimiento de que tienen razón, pero, nosotros consideramos que antes que la propia Etnomatemática esta la Ethnogeometría como la antesala de la primera..
I¿QUÉ ES ETNOMATEMÁTICA?
En el intento de situarnos con el tema mismo de lo que trata la Ethnogeometría, consideramos que debemos ver, qué es Etnomatemática. Aunque hay una lista larga de autores que intentan dar una definición exacta, lo haremos según lo señala el Prof. D’Ambrosio, por ser de los precursores más activos y consecuentes y según el resumen analítico del Prof. neozelandés Bill Barton[1].
“Las diferentes formas de matemática que son propias de los grupos culturales, las llamamos de Etnomatemática”[2]
Este es un juicio a fortriori, o actual, pues, los grupos culturales existen y se encuentran por toda la faz de la Tierra. Luego todos los MODOS de MATEMATIZACIÓN que realicen esos grupos culturales para solucionar sus problemas cotidianos, se las puede denominar de ETNOMATEMATICA.
“La ETNOMATEMATICA en mi concepción es etno+matema+tica, eso es, LAS ARTES, TECNICAS, MANERAS, ESTILOS [=TICAS] de EXPLICAR, ENSEÑAR, COMPRENDER, MANEJAR, LIDIAR, "To cope with", "se débrouiller" [=MATEMA] en SU ENTORNO NATURAL y CULTURAL [=ETNO]” Ubiratan D'Ambrosio.[3]
Según esta explicación, “ETNO” es el “ENTORNO NATURAL y CULTURAL” del hombre en una forma atemporal, es decir, no se refiere al hombre primitivo en su condición de cazador o recolector, se refiere al hombre de todas las épocas hasta llegar a la actual, en su diario accionar en su contexto circundante y circunstancial.
Si, “MATEMA” está homologada con “LAS ARTES, TECNICAS, MANERAS, ESTILOS “To cope with" (para cubrir con o abarcar), sí débrouiller” (manejar o dirigir). Significa que es importante referirse, a todas las formas de expresión o exultación mental y espiritual hechas realidad, abarcando de un modo poético, gráfico, pictórico, petroglífico o folklórico con sus propias modalidades.
“TICAS” es una referencia clara a la metodología, es el cómo trasmitir o compartir, cualquier experiencia (inclusive el MATEMA), con otra(s) persona(s) para que esa(s) persona(s) tenga(n) acceso a un nuevo conocimiento. En el entendido que ese nuevo conocimiento le permitirá solucionar sus tribulaciones o le causará el placer de lograr sus metas, pese a los factores socio-culturales que puedan influenciarlo positiva o negativamente.
El mismo creador del concepto antes interpretado y según Eduardo Sebastiani Ferreira dirá que la Matemática es una parte de la Etnomatemática colocada así:
EDUCACIÓN ETNOMATEMÁTICA MATEMÁTICA
donde, dentro de la Educación, “la Matemática se constituiría en una parte de la Etnomatemática”, por tanto para aprender Matemática invariablemente se debe pasar por Etnomatemática.
Al parecer Bill Barton, se preocupa más con esto último y él, después de estudiar a los autores citados en su trabajo, aunque observa que D’Ambrosio se ubica más en la dimensión socio-antropológica, considera que son cuatro, los términos críticos para la definición: Matemática, Matemático, Nosotros y Cultura.
"La Matemática son los conceptos y las prácticas en el trabajo de esa gente quiénes se llaman a sí mismos matemáticos."
"El Matemático se refiere a esos conceptos y a las prácticas, que se identifican como si estuvieran relacionadas en alguna manera a la Matemática".
“ El matemático y la Matemática ambos son culturalmente específicos porque sus referentes dependen de quiénes usan los términos. Es posible, que por ejemplo, que algunos matemáticos disientan sobre lo qué es legítimamente Matemática.”
“En el "nosotros", usamos la definición como un grupo, quienes comparten una comprensión de Matemática y quienes están interesados en Etnomatemática. Que el grupo incluirá comúnmente matemáticos, quienes toman su propia definición, pero incluirán también a otros, quienes han experimentado Matemática como una categoría en su educación propia. Cuando una Cultura étnica diferente, anda implicada con el "nosotros", nos referimos a los miembros de una cultura, que contiene la categoría de matemáticos. El uso puntual del pronombre hace que el etnomatemático tenga un punto de vista particular”
“Cultura se toma para tener el significado usado por D'Ambrosio, que se refiere al grupo de gente quien "desarrolló prácticas, conocimiento, y, en particular, jergas y códigos, que claramente comprende la manera como ellos matematizan, es decir: es la manera que ellos cuentan, miden, relacionan y clasifican, e infieren" (D'Ambrosio 1984). Tal grupo puede ser un grupo étnico, un grupo nacional, un grupo histórico, o un grupo social dentro de una cultura más amplia. La Cultura refiere al conjunto compartido identificable de comunicaciones, comprensión y prácticas. No es necesaria la definición de Etnomatemática si el conjunto es descriptible con exactitud.”
Habiendo definido los términos, hay cuatro de implicaciones de la definición:
a) Etnomatemática no es un estudio matemático; es más como la antropología o historia;
b)La definición en sí misma depende de quien lo afirma, y culturalmente es específico;
c) La práctica que describe es también culturalmente específica;
d)Etnomatemática implica alguna forma de relativismo para la Matemática”.
Analizar estas cuatro implicaciones, equivaldría a elaborar un tratamiento específico sólo de la Etnomatemática y ese no es nuestro objetivo por ahora.
Desde nuestra visión "Etnomatemática no es Matemática, es la matemática del pueblo como el conjunto de conocimientos matemáticos, prácticos y teóricos, producidos o asimilados y vigentes en su respectivo contexto sociocultural, que supone los procesos de: contar, clasificar, ordenar, calcular, medir, organizar el espacio y el tiempo, estimar e inferir."
Etnomatemática es el camino para aprender Matemática" como el conjunto de los conocimientos matemáticos de la comunidad del aprendiz, relacionados con su cosmovisión e historia, fundamentalmente comprende:
- El sistema de numeración propio.
- Las formas geométricas que se usan en la comunidad.
- Unidades o sistemas de medida utilizadas local o regionalmente (tiempo, capacidad, longitud, superficie, volumen).
- Instrumentos y técnicas de cálculo, medición y estimación; procedimientos de inferencia; otros conceptos, técnicas e instrumentos matemáticos usuales.
- Las expresiones lingüísticas y simbólicas correspondientes a los conceptos, técnicas, e instrumentos matemáticos."[4]
I. ¿QUÉ ES LA ETHNOGEOMETRÍA?
"... Al tratar de transmitir la importancia de las ideas, nosotros las elaboramos con nuestras expresiones occidentales que tenemos de ellas. Desde el principio nosotros diferenciamos, entre las matemáticas que son implícitas y las que son explícitas, y entre los conceptos occidentales que nosotros usamos para describir o explicar y esos conceptos nosotros los atribuimos a la gente de otras Culturas." Marcia Ascher [5]
Ante la falta de literatura y/o de otros autores que hubieran tocado en forma particular a lo que se nos ha ocurrido llamar “Etnogeometría” y considerando que nuestra idea tiene asidero, tanto implícita como explícitamente. Hemos creído conveniente crear, el concepto semánticamente, con la conjunción de Etno+Etnología+Geometría = Ethnogeometría. Como el "Estudio y conocimiento de la Geometría bajo el aspecto cultural de los pueblos comparando sus afinidades de antropología cultural o social y de los lazos de civilización que los caracteriza"[6].
Además tomamos el sentido semiológico del concepto. Porque los códigos que encierra la composición del nombre, se refieren al pueblo, a la gente de nuestros días, a nosotros ahora, por tanto se hace una práctica diaria de la aplicación geométrica en casi todos sus quehaceres.
Para aclarar aun más. Diremos que, cuando se da mayor importancia al aspecto biológico y natural aunado con el psíquico sociológico, etc., estos estudios caen dentro de la Antropología. Mas, si se comprenden en ellos, todos los fenómenos histórico-culturales, además de los puramente naturales, se entra en la Etnología. Ampliando y flexibilizando nuestra visión. Por ejemplo, Etnología vendría a ser, cada reunión de los ICME[7], donde nos congregamos centenares de personas de diferentes razas y nacionalidades que nos sentimos afines por la Matemática o su enseñanza, lo que en otras palabras es estudiar nuestra riqueza material y espiritual con respecto de la Matemática. Mas, sin pretender reuniones tan numerosas tenemos, las de cada día en nuestras comunidades y centros educativos, a los que asisten alumnos de diferentes etnias, pero con un fin común adquirir conocimientos. Esto implica que el mundo actual tiende a hermanar a los hombres de y en todos los confines de la Tierra, y está lejano el día en que se discutió en las universidades de Europa, el problema de sí los negros de Africa o los indios del Nuevo Mundo tenían alma y si eran realmente hombres.
Mientras en la Etnomatemática, los etnomatemáticos intentan describir el mundo matemático, como los otros lo ven. Ethnogeometría, no es el intento de describir, cómo, las ideas se ven a través de los otros. Muy al contrario. Fue y es la generadora no sólo de ideas que todos - etnomatemáticos o no - ven. Tiene una inmanencia permanente[8]. Es el material que inspira a la Etnomatemática, estudiar la historia a partir de la Geometría sea esta euclidiana o no-ecludiana.
La Etnogeometría da lugar a que "... la Etnomatemática...", pueda crear "... un puente entre la Matemática y las ideas (conceptos y prácticas) de otras Culturas." La universalidad de determinadas formas básicas que son parte de una Cultura también universal. Realizar, un estudio etnogeométrico podría ser de mucho mayor interés a los etnomatemáticos, porque partirían de realidades tangibles para luego realizar abstracciones (formular conceptos, o crear teoremas p.ej. sobre equicomposición de poliedros, al observar, los muros de las ruinas incaicas) con una nueva perspectiva. Tal estudio permitiría la posibilidad de matematizar los conceptos o prácticas dentro de una Cultura y, compararla con la otra Cultura, p.ej. que tienen de semejantes la forma de las viviendas de los Uruchipayas del Departamento de Oruro en Bolivia, con la de los africanos de Mozambique; quizá a primera vista diremos la forma cónica de los techos y el material que los cubre.
A partir de la Etnogeometría, el etnomatemático esta obligado a elucidar o aclarar no sólo los conceptos resultantes de las prácticas etnogeométricas, sino, a tomarlos como su material de trabajo para hacer que la Etnomatemática sea el nexo real con la Matemática, porque (como ya lo dijimos), la Etnogeometría, no sólo tiene fundamentos etnológicos, socio-antropológicos, más también, socio-culturales, que han sido y pueden seguir siendo aplicados, al aprendizaje de la Geometría, luego, a la práctica de la Etnomatemática y finalmente a la Matemática..
Por otro lado tomemos lo que dice Marcia Ascher. Que, las cosas las vemos con nuestros ojos occidentalizados, o sea que estamos condicionados a ver siempre bajo esa óptica y cuando alguien lo ve desde otra, nos llama la atención y parece ser incoherente. Eso es comprensible, pues, tantos siglos de academicismo nos han subyugado, que no le damos campo a nuestra mente para pensar de otro modo, sin los símbolos numéricos que representan abstracciones( eso no implica que prescindamos de ellos). Y posiblemente esa sea la razón por la cual hayan aparecido detractores de la Etnomatemática, sin intentar comprenderla, como la nueva aurora para aprender y enseñar a la Matemática.
La Ethnogeometría es parte intrínseca de la vivencia diaria del hombre y su entorno natural[9], pues donde quiera que dirija su atención, a las ruinas de la civilización antigua Inca, "La Puerta del Sol"; las edificaciones de las urbes citadinas (arquitectura) como, la ciudad de Sucre -Bolivia- o, Lima - Perú -, con influencia, de otra cultura, sea francesa, hispana, etc., etc. Antes que Etnomatemática o Matemática. Verá Ethnogeometría y sólo después, Geometría y Matemática; lo mismo será, cuando perciba que una persona es diferente de otra por sus formas anatómicas, complexión física, estatura o color, además su vestimenta, distinta y variada de acuerdo al lugar geográfico en el que habite, con diseños tejidos o estampados en su mayor parte realizados con moldes de hojas, pétalos o tallados matriciales en madera, así como, otras representaciones bordadas en bajorrelieve con una policromía que muestra la riqueza espiritual de los artesanos[10]. Aleatoriamente comparemos los kimonos de los campesinos japoneses, con la túnica o el sari de los hindúes. Las polleras de la chola de las ciudades andinas, que tienen forma arrepollada con la forma de cono truncado de la minifalda de las jóvenes citadinas. En la Naturaleza misma se encuentra con expresiones geométricas (nosotros personas), vemos flores de formas poligonales hojas cardiodes que inspiran coordenadas polares o helechos que generan fractales que luego son colocadas en losdiseños de las vestimentas, casas, etc.. En fin una riqueza espiritual y cultural (inclusive, ideológica por su aplicación),[11] que nos hace admirar. En todas esas expresiones, no vemos ni percibimos inmediatamente ideas, símbolos ni conceptos matemáticos. Estas y éstos se presentarán después, mediante las abstracciones mentales que realicen, los interesados (matemáticos o estudiosos), es decir, se hará Etnomatemática y luego Matemática, partiendo de la Ethnogeometría.
Tenemos otros ejemplos, en los que, “forma, medida y cantidad” están en una simbiosis a primera vista inseparable. Tal el caso de la actividad comercial de los mercados, en los que, las vendedoras colocan sus productos formando montoncitos semejantes a ortoedros, pirámides truncadas o conos, donde. 2 montones (pirámides) de papa por 5 Bs, cuatro montoncitos (conos) de arvejas por 10 Bs. Las vendedoras del mercado pensarían primero en medidas académicas? Sólo, después de que toman conciencia de la forma del cuerpo y de otros aspectos singulares pueden realizar conclusiones de tipo cualitativo y cuantitativo referidas a medir, pesar, contar, comparar y calcular – si, es que, a estas actividades se les puede llamar Matemática. La vendedora del mercado cuando está formando sus “montoncitos” crea las formas que serán más atrayentes al posible comprador (etnogeometriza –si vale el término-), luego determina el valor que tendrá en la venta el montoncito, a montoncitos más grandes con mayor número de unidades (papas, arvejas, frutas, etc.), menos ganancia y, a montoncitos más pequeños menos unidades implica más ganancia según sus costos, dicho de otro modo hace Etnomatemática. No se detiene a pensar si está aplicando un conocimiento académico curricular de Razones y Proporciones o de Reparto Proporcional. Estos, son ejemplos reales y actuales.
Y. ¿Qué podemos decir de los hombres primitivos, que aun no conocían la simbología numeral, cuando trazaron sus pinturas rupestres, luego cuando se hicieron sedentarios y comenzaron a tener noción del derecho de propiedad y el academicismo no había nacido aun? Sin tomar en cuenta, el tiempo, pero, la semejanza entre dos culturas.¿De dónde obtuvieron los Quichuas, el concepto de "Pachatupuy" (Geometría) cuya traducción literal es, Pacha = Tierra y, Tupuy = Medida? La tomarían de los egipcios? Pues, sabemos que ellos dan origen al nombre de "geometría" como resultado de su trabajo anual empírico, al parcelar o reparcelar las tierras aledañas al Nilo después de cada riada. Y como lo leímos, nos admira, toda esa maravilla construida con unos conocimientos básicos de Geometría y de Arquitectura y además con una unidad de medida arbitraria, como era el "codo del arquitecto". A priori podemos afirmar que, la concepción de las formas les obliga (sin ser totalmente empíricos), a crear ciertas unidades de medida y realizar operaciones en ese trabajo y no lo hacen partiendo de hipótesis. Parten de lo que está en su entorno. Utilizan ese conocimiento y el que está, en ellos y con ellos mismos o sea la Ethnogeometría. Parecería que no teorizaron diciendo: "si la base es de n codos entonces la cúspide estará a n codos de altura". Dado que la pirámide para los egipcios no sólo es una tumba para el Faraón. Es la "luz que ilumina el camino", posiblemente dependiendo a qué Faraón iba destinada la pirámide, sería más alta y con menos o más galerías
En otras palabras el ver formas y reproducir formas, está, en él y con el hombre, sin importar la época en la que vive. Por esta observación llamamos parte intrínseca de la vida del hombre. Quizá haya otras maneras de explicarlo mejor y con otras palabras, luego, creemos que, es aquí donde la crítica ayudará a mejorar o retirar esta concepción nuestra proposición. Luego, desde el punto de vista etnogeométrico. Toda percepción, sea ésta real o de abstracción, es global. ¿Quién podría pensar, en la primera contemplación, en conceptos, reglas o axiomas matemáticos al visitar las pirámides Mayas; al contemplar desde el aire, las figuras petroglíficas del Valle de Nazca en el Perú? o las figuras zoomorfas de la Puerta del Sol en Tiwanaku?. ¿Quién piensa primero en las dimensiones o calcula cantidad de material, su valor, o el tiempo que tomará construir algún objeto? Por consiguiente no es Matemática ni Geometría pura lo que manipula el hombre en su diario vivir, al contemplar la belleza de la naturaleza. Es Ethnogeometría como una primera fase. Sin embargo (insistimos), no se queda con ese saber, aplica ese conocimiento y, hace Etnomatemática y finalmente Matemática.
EL TEOREMA MATEMÁTICO DE LA PUERTA DEL SOL
Al lado tenemos, una fracción de “La Puerta del Sol” en Tiwanaku. Y, luego la solución del teorema, presentado por Xavier Amaru Ruiz[12]. Este es, el mejor ejemplo de lo que hasta ahora hemos estado preconizando, de que primero observamos las formas geométricas luego hacemos la matematización.
Y Amaru Ruiz nos dice: “Realizando un análisis lógico a los símbolos e ideogramas grabados en La Puerta del Sol y concentrándonos en el detalle de la aureola que rodea la cabeza del personaje central, notamos, que su planteamiento es sumamente interesante, porque demuestra ser un teorema lógico matemático, en el cual los números y figuras geométricas aparecen virtualmente de manera subliminal, ya que la aureola está rodeada de 18 pares de ganchos (triángulos) rotando en dos direcciones opuestas (18 hacia la derecha y18 a la izquierda) y ambos convergiendo hacia el centro del cuadro, con una constante numeral de 36 (18+18).”
Sin proponérselo Xavier Amaru, hace Etnogeomnetría y Etnomatemática, pues, para el análisis del diseño, ha recurrido a la observación de la forma, “números y figuras geométricas”, pero, va más allá y, él indica: “La figura geométrica de la unificación[13] es el cuadrado, cuya división geométrica da paso a la creación del rectángulo, el triángulo y el círculo. Para tener una constante de 36, sus lados son de valor 6. El área es igual a 36.” “Esta es una matriz simétrica numeral en la cual interaccionan números reales y virtuales, cuyo resultado es una ecuación”.Fig 2.
Al sumar consecutivamente los ocho elementos que constituyen el cuadrado: 1+2+3+4+5+6+7+8 = 36. Si se divide en dos rectángulos verticales, o sea en: “Hemisferio Izquierdo” (HI), sumando 3+4+5+6 = 18; en el “Hemisferio Derecho” (HD), también se tiene 1+2+7+8 = 18
Con dos medianas y dos diagonales ha dividido en triángulos y que partiendo en forma irradiada desde el punto de intersección a la periferia resultan 8, siendo cada uno de 45°, luego 8 x 45° = 360°. La medida del círculo perfecto. Si sumamos verticalmente cada par de los valores asignados a los triángulos: 1+8, 2+7, 3+6, 4+5. El resultado siempre es 9. También da 9 la suma de las cifras significativas de 36 y 360. Y, si borramos todos los triángulos, sólo quedaría la aureola, luego tendríamos un vacío representado por el 0. En consecuencia hemos encontrado dos números virtuales.
La aproximación del valor del Pi andino o Pi matemático
Para encontrar una aproximación al valor de “pi”. El cuadrado mágico se ha dividido en dos partes, mediante una diagonal, tal como, lo muestran las figuras 3 y 4. Cada parte equivale a P/2 (medio “pi”), luego se han realizado estas operaciones: fig. 3.- 4+5+6+7=22, se divide entre 8+1+2+3=14, o sea 22/14=1.571428 y fig. 4, 1+8+7+6=22, se divide 2+3+4+5=14, (1.571428). Si sumamos estos dos cocientes 1.571428+1.571428= 3.142856. Obtenemos el “Pi” andino o matemático con apenas 0.001256 de variación, a la aproximación geométrica de la relación constante entre el diámetro de una circunferencia y su longitud de 3,1416, que encontraron los griegos.
SIMBOLOS NUMERALES
El trazado de los ocho triángulos dentro del cuadrado mágico, no sólo sirve para determinar: el cuadrado, triángulo, rectángulo, circunferencia o la aproximación de “pi”. Es una matriz simétrica para otros aspectos matemáticos entre los que tomamos a los símbolos numerales.
Al observar el gráfico podemos notar que:
Todos los numerales tienen la misma matriz.
Los numerales originales son de uno a cinco, los que siguen, son una imagen espejo.
Xavier Amaru refrenda nuestra observación indicando que: “al juntar los cinco numerales en un bloque se forma dicho cuadrado”. “...y es por este motivo que al sistema numeral tiawanakota se lo consideraba quinario, pero al desdoblarse, los cinco en imagen espejo se conforma la otra mitad”. Por tanto los numerales son 1,2,3,4,5,6,7,8 (reales), 0 y 9 (virtuales). Siendo Y según el mismo autor, una situación parecida de imagen espejo, se da en el sistema arábigo, por ej. Con los numerales 2 y 5; 6 y 9. Ambas observaciones nos llevan a colegir que existe una dualidad simétrica.
Conclusión
Parangonando con la proposición del Prof. Ubiratan D’Ambrosio, diremos que dentro de la Educación, la Matemática es parte de la Etnomatemática y Etnogeometría.
Para finalizar queremos manifestar que, quizá deberíamos haber puesto énfasis, sólo en esta última parte, como la prueba irrefutable de que para ver la Etnomatemática a profundidad, no se puede ignorar a la Etnogeometría como un primer paso. Es decir, partir del valor cultural que tienen las formas geométricas, para luego ir al valor cultural de la matematización. Sin embargo como la vida continua y ella, está ligada a los problemas no sólo socio-culturales, sino, a los socio-económicos, no podemos quedarnos en el pasado, cuando la realidad del “sistema” nos golpea inmisericordemente.
BIBLIOGRAFIA
Asher, Marcia and Robert. : Mathematics of the Incas. Dover Publications Inc. New York 1981
Barton, Bill.: "Teniendo el Sentido de la Etnomatemática: La Ethnomatemática tiene Sentido". The University of Auckland. New Zealand. 1997
Gerdes, Paul: Lusona: Recreações Geométricas de Africa Divisao. Grafica. Da Universidade Eduardo Mondlane. Maputo 1990
Marastroni, G.: Hagamos Geometría. Ed. Fontanela 1980
Pacheco R.,: Un intento de Filosofia de la Matemática. Ed. CEPDI S.C.-Bolivia- 1999
Perero, Mariano: Historia e Historias de Matemática Grupo Editorial Iberoamérica México. 1994
Piaget, Jean:Seis Estudios de Psicología Ed. Seix Barral 1964.
Santaló, L. A.: Geometría No-Euclidiana. Eudeba Buenos Aires Argentina 1985.
Smogorzhevski, A.S. :Acerca de la Geometría de Lobachevski. Ed. Mir Moscú 1984
Ubitan D’Ambrosio Educação Matemática em Revista Número 1, 1993 y otros anexos de la UVLA.
Wyllie, C. R. Jr.: Foundations Geometry. McGraw-Hill New York. 1985
[1] Autor de este capítulo, el cual hemos traducido del original en inglés "Making Sense of Ethnomathematics" Quien a su vez cita: a Marcia Asher, Ubiratan D'Ambrosio y Paulus Gerdes
[2] D'Ambrosio citado por Eduardo Sebastiani Ferreira en “Etnomatemática. Una propuesta Metodológica 1997
[3] Explicación que la dio, en una de las lecciones de la Universidad Virtual Latinoamericana UVLA
[4] Nuevos programas de estudio - Min. Desarrollo Humano Stría. Nal. de Educación 1995
[5] Citada por Bill Barton en su trabajo “Teniendo sentido sobre Etnomatemática: La Etnomatemática tiene sentido”
[6] Hemos armado esta definición partiendo del significado de Ethnos, Etnología y Geometría que se encuentra en los diccionarios enciclopédicos.
[7] Siglas en inglés: Conferencia Internacional de Educación Matemática.
[8] Fuerza o virtud, permanente
[9] D’Ambrosio la definir Etnomatemátiva nos habla del entorno natural y cultural = Etno
[10] La vestimenta de la “Morenada” o la “Diablada” en el carnaval de Oruro –Bolivia-
[11] Porqué se construiría la Gran Muralla China o, el “Muro de Berlín?
[12] Autor de “La Teoría de la Unificación en 20 Dimensiones” 1996
[13] Se refiere a que la teoría del universo se puede desarrallorar completamente con un cuadrado y ocho números.
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